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 5   	 1 3   	 	 3 3 5 5 0 3 3 6   	 	 	 8   	 	 1 4 5 6   	 	 	 F i r s t   s e e n   i n   a   m e d i e v a l   m a n u s c r i p t ,   M u n i c h ,   B a y e r i s c h e   S t a a t s b i b l i o t h e k ,   C L M   1 4 9 0 8 ,   f o l .   3 3 [ 6 ] 
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 6   	 1 7   	 	 8 5 8 9 8 6 9 0 5 6   	 	 	 1 0   	 	 1 5 8 8   	 	 	 C a t a l d i [ 1 ] 
 
 7   	 1 9   	 	 1 3 7 4 3 8 6 9 1 3 2 8   	 	 	 1 2   	 	 1 5 8 8   	 	 	 C a t a l d i [ 1 ] 
 
 8   	 3 1   	 	 2 3 0 5 8 4 3 0 0 8 1 3 9 9 5 2 1 2 8   	 	 1 9   	 	 1 7 7 2   	 	 	 E u l e r 
 
 9   	 6 1   	 	 2 6 5 8 4 5 5 9 9 1 5 6 . . . 6 1 5 9 5 3 8 4 2 1 7 6   	 3 7   	 	 1 8 8 3   	 	 	 P e r v u s h i n 
 
 1 0   	 8 9   	 	 1 9 1 5 6 1 9 4 2 6 0 8 . . . 3 2 1 5 4 8 1 6 9 2 1 6   	 5 4   	 	 1 9 1 1   	 	 	 P o w e r s 
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 1 1   	 1 0 7   	 	 1 3 1 6 4 0 3 6 4 5 8 5 . . . 1 1 7 7 8 3 7 2 8 1 2 8   	 6 5   	 	 1 9 1 4   	 	 	 P o w e r s 
 
 1 2   	 1 2 7   	 	 1 4 4 7 4 0 1 1 1 5 4 6 . . . 1 3 1 1 9 9 1 5 2 1 2 8   	 7 7   	 	 1 8 7 6   	 	 	 L u c a s 
 
 1 3   	 5 2 1   	 	 2 3 5 6 2 7 2 3 4 5 7 2 . . . 1 6 0 5 5 5 6 4 6 9 7 6   	 3 1 4   	 	 1 9 5 2   	 	 	 R o b i n s o n 
 
 1 4   	 6 0 7   	 	 1 4 1 0 5 3 7 8 3 7 0 6 . . . 7 5 9 5 3 7 3 2 8 1 2 8   	 3 6 6   	 	 1 9 5 2   	 	 	 R o b i n s o n 
 
 1 5   	 1 2 7 9   	 	 5 4 1 6 2 5 2 6 2 8 4 3 . . . 7 6 4 9 8 4 2 9 1 3 2 8   	 7 7 0   	 	 1 9 5 2   	 	 	 R o b i n s o n 
 
 1 6   	 2 2 0 3   	 	 1 0 8 9 2 5 8 3 5 5 0 5 . . . 8 3 4 4 5 3 7 8 2 5 2 8   	 1 3 2 7   	 	 1 9 5 2   	 	 	 R o b i n s o n 
 
 1 7   	 2 2 8 1   	 	 9 9 4 9 7 0 5 4 3 3 7 0 . . . 6 7 5 1 3 9 9 1 5 7 7 6   	 1 3 7 3   	 	 1 9 5 2   	 	 	 R o b i n s o n 
 
 1 8   	 3 2 1 7   	 	 3 3 5 7 0 8 3 2 1 3 1 9 . . . 3 3 2 6 2 8 5 2 5 0 5 6   	 1 9 3 7   	 	 1 9 5 7   	 	 	 R i e s e l 
 
 1 9   	 4 2 5 3   	 	 1 8 2 0 1 7 4 9 0 4 0 1 . . . 4 3 7 1 3 3 3 7 7 5 3 6   	 2 5 6 1   	 	 1 9 6 1   	 	 	 H u r w i t z 
 
 2 0   	 4 4 2 3   	 	 4 0 7 6 7 2 7 1 7 1 1 0 . . . 6 4 2 9 1 2 5 3 4 5 2 8   	 2 6 6 3   	 	 1 9 6 1   	 	 	 H u r w i t z 
 
 2 1   	 9 6 8 9   	 	 1 1 4 3 4 7 3 1 7 5 3 0 . . . 5 5 8 4 2 9 5 7 7 2 1 6   	 5 8 3 4   	 	 1 9 6 3   	 	 	 G i l l i e s 
 
 2 2   	 9 9 4 1   	 	 5 9 8 8 8 5 4 9 6 3 8 7 . . . 3 2 4 0 7 3 4 9 6 5 7 6   	 5 9 8 5   	 	 1 9 6 3   	 	 	 G i l l i e s 
 
 2 3   	 1 1 2 1 3   	 	 3 9 5 9 6 1 3 2 1 2 8 1 . . . 7 0 2 6 9 1 0 8 6 3 3 6   	 6 7 5 1   	 	 1 9 6 3   	 	 	 G i l l i e s 
 
 2 4   	 1 9 9 3 7   	 	 9 3 1 1 4 4 5 5 9 0 9 5 . . . 7 9 0 2 7 1 9 4 2 6 5 6   	 1 2 0 0 3   	 	 1 9 7 1   	 	 	 T u c k e r m a n 
 
 2 5   	 2 1 7 0 1   	 	 1 0 0 6 5 6 4 9 7 0 5 4 . . . 2 5 5 1 4 1 6 0 5 3 7 6   	 1 3 0 6 6   	 	 1 9 7 8   	 	 	 N o l l   &   N i c k e l 
 
 2 6   	 2 3 2 0 9   	 	 8 1 1 5 3 7 7 6 5 8 2 3 . . . 6 0 3 9 4 1 6 6 6 8 1 6   	 1 3 9 7 3   	 	 1 9 7 9   	 	 	 N o l l 
 
 2 7   	 4 4 4 9 7   	 	 3 6 5 0 9 3 5 1 9 9 1 5 . . . 3 5 3 0 3 1 8 2 7 4 5 6   	 2 6 7 9 0   	 	 1 9 7 9   	 	 	 N e l s o n   &   S l o w i n s k i 
 
 2 8   	 8 6 2 4 3   	 	 1 4 4 1 4 5 8 3 6 1 7 7 . . . 9 5 7 3 6 0 4 0 6 5 2 8   	 5 1 9 2 4   	 	 1 9 8 2   	 	 	 S l o w i n s k i 
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 2 9   	 1 1 0 5 0 3   	 	 1 3 6 2 0 4 5 8 2 1 3 3 . . . 2 3 3 6 0 3 8 6 2 5 2 8   	 6 6 5 3 0   	 	 1 9 8 8   	 	 	 C o l q u i t t   &   W e l s h 
 
 3 0   	 1 3 2 0 4 9   	 	 1 3 1 4 5 1 2 9 5 4 5 4 . . . 4 9 1 7 7 4 5 5 0 0 1 6   	 7 9 5 0 2   	 	 1 9 8 3   	 	 	 S l o w i n s k i 
 
 3 1   	 2 1 6 0 9 1   	 	 2 7 8 3 2 7 4 5 9 2 2 0 . . . 4 1 6 8 4 0 8 8 0 1 2 8   	 1 3 0 1 0 0   	 	 1 9 8 5   	 	 	 S l o w i n s k i 
 
 3 2   	 7 5 6 8 3 9   	 	 1 5 1 6 1 6 5 7 0 2 2 0 . . . 6 0 0 5 6 5 7 3 1 3 2 8   	 4 5 5 6 6 3   	 	 1 9 9 2   	 	 	 S l o w i n s k i   &   G a g e 
 
 3 3   	 8 5 9 4 3 3   	 	 8 3 8 4 8 8 2 2 6 7 5 0 . . . 5 4 0 4 1 6 1 6 7 9 3 6   	 5 1 7 4 3 0   	 	 1 9 9 4   	 	 	 S l o w i n s k i   &   G a g e 
 
 3 4   	 1 2 5 7 7 8 7   	 8 4 9 7 3 2 8 8 9 3 4 3 . . . 0 2 8 1 1 8 7 0 4 1 2 8   	 7 5 7 2 6 3   	 	 1 9 9 6   	 	 	 S l o w i n s k i   &   G a g e 
 
 3 5   	 1 3 9 8 2 6 9   	 3 3 1 8 8 2 3 5 4 8 8 1 . . . 0 1 7 7 2 3 3 7 5 6 1 6   	 8 4 1 8 4 2   	 	 1 9 9 6   	 	 	 A r m e n g a u d ,   W o l t m a n ,   e t   a l . 
 
 3 6   	 2 9 7 6 2 2 1   	 1 9 4 2 7 6 4 2 5 3 2 8 . . . 7 2 4 1 7 4 4 6 2 9 7 6   	 1 7 9 1 8 6 4   	 1 9 9 7   	 	 	 S p e n c e ,   W o l t m a n ,   e t   a l . 
 
 3 7   	 3 0 2 1 3 7 7   	 8 1 1 6 8 6 8 4 8 6 2 8 . . . 5 7 3 0 2 2 4 5 7 8 5 6   	 1 8 1 9 0 5 0   	 1 9 9 8   	 	 	 C l a r k s o n ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 3 8   	 6 9 7 2 5 9 3   	 9 5 5 1 7 6 0 3 0 5 2 1 . . . 4 7 5 1 2 3 5 7 2 7 3 6   	 4 1 9 7 9 1 9   	 1 9 9 9   	 	 	 H a j r a t w a l a ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 3 9   	 1 3 4 6 6 9 1 7   	 4 2 7 7 6 4 1 5 9 0 2 1 . . . 4 6 0 8 6 3 0 2 1 0 5 6   	 8 1 0 7 8 9 2   	 2 0 0 1   	 	 	 C a m e r o n ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 0   	 2 0 9 9 6 0 1 1   	 7 9 3 5 0 8 9 0 9 3 6 5 . . . 5 7 8 2 0 6 8 9 6 1 2 8   	 1 2 6 4 0 8 5 8   	 2 0 0 3   	 	 	 S h a f e r ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 1   	 2 4 0 3 6 5 8 3   	 4 4 8 2 3 3 0 2 6 1 7 9 . . . 4 6 0 5 7 2 9 5 0 5 2 8   	 1 4 4 7 1 4 6 5   	 2 0 0 4   	 	 	 F i n d l e y ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 2   	 2 5 9 6 4 9 5 1   	 7 4 6 2 0 9 8 4 1 9 0 0 . . . 8 7 4 7 9 1 0 8 8 1 2 8   	 1 5 6 3 2 4 5 8   	 2 0 0 5   	 	 	 N o w a k ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 3   	 3 0 4 0 2 4 5 7   	 4 9 7 4 3 7 7 6 5 4 5 9 . . . 5 3 6 1 6 4 7 0 4 2 5 6   	 1 8 3 0 4 1 0 3   	 2 0 0 5   	 	 	 C o o p e r ,   B o o n e ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 4   	 3 2 5 8 2 6 5 7   	 7 7 5 9 4 6 8 5 5 3 3 6 . . . 4 7 6 5 7 7 1 2 0 2 5 6   	 1 9 6 1 6 7 1 4   	 2 0 0 6   	 	 	 C o o p e r ,   B o o n e ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 5   	 3 7 1 5 6 6 6 7   	 2 0 4 5 3 4 2 2 5 5 3 4 . . . 9 7 5 0 7 4 4 8 0 1 2 8   	 2 2 3 7 0 5 4 3   	 2 0 0 8   	 	 	 E l v e n i c h ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 6   	 4 2 6 4 3 8 0 1   	 1 4 4 2 8 5 0 5 7 9 6 0 . . . 8 3 7 3 7 7 2 5 3 3 7 6   	 2 5 6 7 4 1 2 7   	 2 0 0 9   	 	 	 S t r i n d m o ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 7   	 4 3 1 1 2 6 0 9   	 5 0 0 7 6 7 1 5 6 8 4 9 . . . 2 2 1 1 4 5 3 7 8 8 1 6   	 2 5 9 5 6 3 7 7   	 2 0 0 8   	 	 	 S m i t h ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 8   	 5 7 8 8 5 1 6 1   	 1 6 9 2 9 6 3 9 5 3 0 1 . . . 6 2 6 2 7 0 1 3 0 1 7 6   	 3 4 8 5 0 3 4 0   	 2 0 1 3   	 	 	 C o o p e r ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   e t   a l . 
 
 4 9   	 7 4 2 0 7 2 8 1   	 4 5 1 1 2 9 9 6 2 7 0 6 . . . 5 5 7 9 3 0 3 1 5 7 7 6   	 4 4 6 7 7 2 3 5   	 2 0 1 6   	 	 	 C o o p e r ,   W o l t m a n ,   K u r o w s k i ,   B l o s s e r ,   e t   a l . 
 
 
 
 T h e   d i s p l a y e d   r a n k s   a r e   a m o n g   t h o s e   p e r f e c t   n u m b e r s   w h i c h   a r e   k n o w n   a s   o f   S e p t e m b e r   2 0 1 6 . 
 
 S o m e   r a n k s   m a y   c h a n g e   l a t e r   i f   s m a l l e r   p e r f e c t   n u m b e r s   a r e   d i s c o v e r e d . 
 
 I t   i s   k n o w n   t h e r e   i s   n o   o d d   p e r f e c t   n u m b e r   b e l o w   1 0 ^ 1 5 0 0 . [ 7 ]   G I M P S   r e p o r t e d   t h a t   b y   2   S e p t e m b e r   2 0 1 6   t h e   s e a r c h   f o r   M e r s e n n e   p r i m e s   ( a n d   t h e r e b y   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r s )   b e c a m e   e x h a u s t i v e   u p   t o   t h e   4 5 t h   a b o v e . [ 8 ] 
 
 
 
 
 
 
 
 G e n e r a l   I n f o r m a t i o n 
 
 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 
 
 
 
 A l l   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r s   h a v e   a   v e r y   p r e c i s e   f o r m ;   o d d   p e r f e c t   n u m b e r s   e i t h e r   d o   n o t   e x i s t   o r   a r e   r a r e .   T h e r e   a r e   a   n u m b e r   o f   r e s u l t s   o n   p e r f e c t   n u m b e r s   t h a t   a r e   a c t u a l l y   q u i t e   e a s y   t o   p r o v e   b u t   n e v e r t h e l e s s   s u p e r f i c i a l l y   i m p r e s s i v e ;   s o m e   o f   t h e m   a l s o   c o m e   u n d e r   R i c h a r d   G u y ' s   s t r o n g   l a w   o f   s m a l l   n u m b e r s : 
 
 
 
         T h e   o n l y   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r   o f   t h e   f o r m   x 3   +   1   i s   2 8   ( M a k o w s k i   1 9 6 2 ) . [ 3 2 ] 
 
         2 8   i s   a l s o   t h e   o n l y   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r   t h a t   i s   a   s u m   o f   t w o   p o s i t i v e   i n t e g r a l   c u b e s   ( G a l l a r d o   2 0 1 0 ) . [ 3 3 ] 
 
         T h e   r e c i p r o c a l s   o f   t h e   d i v i s o r s   o f   a   p e r f e c t   n u m b e r   N   m u s t   a d d   u p   t o   2   ( t o   g e t   t h i s ,   t a k e   t h e   d e f i n i t i o n   o f   a   p e r f e c t   n u m b e r ,     1   (   n   )   =   2   n   { \ d i s p l a y s t y l e   \ s i g m a   _ { 1 } ( n ) = 2 n }   \ s i g m a   _ { 1 } ( n ) = 2 n ,   a n d   d i v i d e   b o t h   s i d e s   b y   n ) : 
 
                 F o r   6 ,   w e   h a v e   1   /   6   +   1   /   3   +   1   /   2   +   1   /   1   =   2   { \ d i s p l a y s t y l e   1 / 6 + 1 / 3 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 }   1 / 6 + 1 / 3 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 ; 
 
                 F o r   2 8 ,   w e   h a v e   1   /   2 8   +   1   /   1 4   +   1   /   7   +   1   /   4   +   1   /   2   +   1   /   1   =   2   { \ d i s p l a y s t y l e   1 / 2 8 + 1 / 1 4 + 1 / 7 + 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 }   1 / 2 8 + 1 / 1 4 + 1 / 7 + 1 / 4 + 1 / 2 + 1 / 1 = 2 ,   e t c . 
 
         T h e   n u m b e r   o f   d i v i s o r s   o f   a   p e r f e c t   n u m b e r   ( w h e t h e r   e v e n   o r   o d d )   m u s t   b e   e v e n ,   b e c a u s e   N   c a n n o t   b e   a   p e r f e c t   s q u a r e . [ 3 4 ] 
 
                 F r o m   t h e s e   t w o   r e s u l t s   i t   f o l l o w s   t h a t   e v e r y   p e r f e c t   n u m b e r   i s   a n   O r e ' s   h a r m o n i c   n u m b e r . 
 
         T h e   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r s   a r e   n o t   t r a p e z o i d a l   n u m b e r s ;   t h a t   i s ,   t h e y   c a n n o t   b e   r e p r e s e n t e d   a s   t h e   d i f f e r e n c e   o f   t w o   p o s i t i v e   n o n - c o n s e c u t i v e   t r i a n g u l a r   n u m b e r s .   T h e r e   a r e   o n l y   t h r e e   t y p e s   o f   n o n - t r a p e z o i d a l   n u m b e r s :   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r s ,   p o w e r s   o f   t w o ,   a n d   t h e   n u m b e r s   o f   t h e   f o r m   2   n   "  1   (   2   n   +   1   )   { \ d i s p l a y s t y l e   2 ^ { n - 1 } ( 2 ^ { n } + 1 ) }   2 ^ { n - 1 } ( 2 ^ { n } + 1 )   f o r m e d   a s   t h e   p r o d u c t   o f   a   F e r m a t   p r i m e   2   n   +   1   { \ d i s p l a y s t y l e   2 ^ { n } + 1 }   2 ^ { n } + 1   w i t h   a   p o w e r   o f   t w o   i n   a   s i m i l a r   w a y   t o   t h e   c o n s t r u c t i o n   o f   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r s   f r o m   M e r s e n n e   p r i m e s . [ 3 5 ] 
 
         T h e   n u m b e r   o f   p e r f e c t   n u m b e r s   l e s s   t h a n   n   i s   l e s s   t h a n   c   n   { \ d i s p l a y s t y l e   c { \ s q r t   { n } } }   c { \ s q r t   { n } } ,   w h e r e   c   >   0   i s   a   c o n s t a n t . [ 3 6 ]   I n   f a c t   i t   i s   o   (   n   )   { \ d i s p l a y s t y l e   o ( { \ s q r t   { n } } ) }   o ( { \ s q r t   { n } } ) ,   u s i n g   l i t t l e - o   n o t a t i o n . [ 3 7 ] 
 
         E v e r y   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r   e n d s   i n   6   o r   2 8 ,   b a s e   t e n ;   a n d ,   w i t h   t h e   o n l y   e x c e p t i o n   o f   6 ,   e n d s   i n   1 ,   b a s e   9 . [ 3 8 ] [ 3 9 ]   T h e r e f o r e   i n   p a r t i c u l a r   t h e   d i g i t a l   r o o t   o f   e v e r y   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r   o t h e r   t h a n   6   i s   1 . 
 
         T h e   o n l y   s q u a r e - f r e e   p e r f e c t   n u m b e r   i s   6 . [ 4 0 ] 
 
 
 
 
 
 I n   n u m b e r   t h e o r y ,   a   p r a c t i c a l   n u m b e r   o r   p a n a r i t h m i c   n u m b e r [ 1 ]   i s   a   p o s i t i v e   i n t e g e r   n   s u c h   t h a t   a l l   s m a l l e r   p o s i t i v e   i n t e g e r s   c a n   b e   r e p r e s e n t e d   a s   s u m s   o f   d i s t i n c t   d i v i s o r s   o f   n .   F o r   e x a m p l e ,   1 2   i s   a   p r a c t i c a l   n u m b e r   b e c a u s e   a l l   t h e   n u m b e r s   f r o m   1   t o   1 1   c a n   b e   e x p r e s s e d   a s   s u m s   o f   i t s   d i v i s o r s   1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   a n d   6 :   a s   w e l l   a s   t h e s e   d i v i s o r s   t h e m s e l v e s ,   w e   h a v e   5   =   3   +   2 ,   7   =   6   +   1 ,   8   =   6   +   2 ,   9   =   6   +   3 ,   1 0   =   6   +   3   +   1 ,   a n d   1 1   =   6   +   3   +   2 . 
 
 
 
 T h e   s e q u e n c e   o f   p r a c t i c a l   n u m b e r s   ( s e q u e n c e   A 0 0 5 1 5 3   i n   t h e   O E I S )   b e g i n s 
 
 
 
         1 ,   2 ,   4 ,   6 ,   8 ,   1 2 ,   1 6 ,   1 8 ,   2 0 ,   2 4 ,   2 8 ,   3 0 ,   3 2 ,   3 6 ,   4 0 ,   4 2 ,   4 8 ,   5 4 ,   5 6 ,   6 0 ,   6 4 ,   6 6 ,   7 2 ,   7 8 ,   8 0 ,   8 4 ,   8 8 ,   9 0 ,   9 6 ,   1 0 0 ,   1 0 4 ,   1 0 8 ,   1 1 2 ,   1 2 0 ,   1 2 6 ,   1 2 8 ,   1 3 2 ,   1 4 0 ,   1 4 4 ,   1 5 0 . . . .   
 
 E v e r y   e v e n   p e r f e c t   n u m b e r   a n d   e v e r y   p o w e r   o f   t w o   i s   a l s o   a   p r a c t i c a l   n u m b e r . 
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 P r a c t i c a l   n u m b e r s   h a v e   a l s o   b e e n   s h o w n   t o   b e   a n a l o g o u s   w i t h   p r i m e   n u m b e r s   i n   m a n y   o f   t h e i r   p r o p e r t i e s . 
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 H a u s m a n ,   M i r i a m ;   S h a p i r o ,   H a r o l d   N .   ( 1 9 8 4 ) ,   " O n   p r a c t i c a l   n u m b e r s " ,   C o m m u n i c a t i o n s   o n   P u r e   a n d   A p p l i e d   M a t h e m a t i c s ,   3 7   ( 5 ) :   7 0 5  7 1 3 ,   d o i : 1 0 . 1 0 0 2 / c p a . 3 1 6 0 3 7 0 5 0 7 ,   M R   0 7 5 2 5 9 6 . 
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